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四川大学2021年考研高等代数真题
一、若多项式，且
(1) 将化为上的不可约多项式；
(2) 计算;
(3) 设为方阵的特征多项式，求，其中为六阶单位阵.
(4) 设为的最小数域，求作为上线性空间的维数.
二、设为数域，为上所有阶矩阵组成的集合，试问：
(1) 设元非齐次线性方程组 有解， =的秩为，证明： 的解集秩为 ；
(2) 设非齐次线性方程组有无穷多解，且任意解都可表示为
的线性组合，求的秩取值范围；
(3) 设，证明：矩阵方程有解当且仅当的秩与分块矩阵的秩相等;
(4) 设 且 的秩都为 ，设的一个行向量与的一个行向量线性无关，且 的一个列向量与的一个列向量线性无关，求的秩.
三、设为内积空间
(1) 若为的有限维子空间， 为的正交补，证明: ；
(2) 设为的无限维子空间，则 是否仍然成立? 并给出其证明.
四、 设实二次型
矩阵的全部特征值和为， 乘积为，试求，并用非退化线性变换将化为标准型.
五、设任意数域上的线性空间 ，且 表示向的所有线性映射组成的线性空间，若为上有限维线性空间，维度分别为且
有(1) 试证：存在，使得，唯一当且仅当满射;
(2) 的像空间维度为，
证明: 为的子空间，并求维数
六、设为实数域上维线性空间
(1) 举出有无穷多个不变子空间的上的线性变换的例子;
(2) 若为上线性变换，且有个实特征值 ( 重根按重数计) ， 有有限多不变子空间，写出所有可能的 Jordan 标准型并说明;
(3) 若为上线性变换，且有个实特征值 (重根按重数计)，有有限多不变子空间，用的初等因子给出 成立的充要条件，其中为 上线性变换.
七、设为数域上的维线性空间，为的对偶空间，为上线性变换，对任意的，定义
(1) 试证：为上线性变换；
(2) 证明：为线性同构当且仅当为线性同构；
(3) 设，证明：
为的基当且仅当的任意非零不变子空间.精选推荐
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